Taylor Approximation – Analysis I (Kap. 1-9) (2024)

Beispiel 9.45 (Verschwindende Taylorreihe).

Wir betrachten die Funktion

$$\begin{array}{lll}\hfill \psi :x\in ℝ\mapsto \{\begin{array}{cc}\hfill \exp \left(-\frac{1}{x}\right)\hfill & \hfill \text{falls}x>0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \text{falls}x\le 0\hfill \end{array},& & \hfill \end{array}$$

die nach Beispiel 8.23 glatt ist und ${\psi }^{\left(n\right)}\left(0\right)=0$ für alle $n\in {\mathbb{N}}_0$ erfüllt. Wir zeigen, dass sich $\psi$ nicht durch eine Potenzreihe um $0$ darstellen lässt.

Wir nehmen also indirekt an, dass es eine Potenzreihe $f\left(x\right)={\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n{x}^n$ mit reellen Koeffizienten und Konvergenzradius $R>0$ gibt, so dass $f\left(x\right)=\psi \left(x\right)$ für alle $x\in (-R,R)$. Nach Korollar 9.11 (oder genauer Übung 9.12) ist $f^{\left(n\right)}\left(0\right)=c_{n}n!$. Aber da $f\left(x\right)=\psi \left(x\right)$ für alle $x\in (-R,R)$ angenommen wurde und da Ableiten eine lokale Operation ist, schliessen wir, dass $f^{\left(n\right)}\left(0\right)=0$ und somit $c_n=0$ für alle $n\in {\mathbb{N}}_0$. Dies widerspricht jedoch $\psi \left(x\right)>0$ für alle $x>0$. Also kann $\psi$ in keiner Umgebung von $0$ durch eine Potenzreihe dargestellt werden.

Theorem 9.46 (Taylor-Approximation).

Sei $(a,b)\subseteq ℝ$ ein offenes, nicht-leeres Intervall und sei $f:(a,b)\to ℂ$ eine $(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion. Sei $x_0\in (a,b)$. Dann gilt für alle $x\in (a,b)$

$$\begin{array}{lll}\hfill f\left(x\right)=P_{x_0,n}^f\left(x\right)+R_{x_0,n}^f\left(x\right),& & \hfill \end{array}$$

wobei $P_{x_0,n}^f$ die $n$-te Taylor-Approximation ist und wir den Fehlerterm $R_{x_0,n}^f$ durch das sogenannte Integral-Restglied

$$\begin{array}{lll}\hfill x\in \left(a,b\right)\mapsto R_{x_0,n}^f\left(x\right)={\int }_{x_0}^x{f}^{(n+1)}\left(t\right)\frac{{(x-t)}^n}{n!}dt& & \hfill \end{array}$$

darstellen können. Dies gilt auch für Funktionen auf $[x_0,b)$ und Punkte $x\in [x_0,b)$ (beziehungsweise $(a,x_0]$ und $x\in (a,x_0]$).

Korollar 9.47 (Taylor-Abschätzung).

Sei $(a,b)\subseteq ℝ$ ein offenes, nicht-leeres Intervall, sei $f:(a,b)\to ℂ$ eine $(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion und seien $x_0,x\in (a,b)$ zwei Punkte. Wir setzen $M_{n+1}=\max \left\{\left|f^{(n+1)}\right(t\left)\right|\mid t\text{zwischen}{x}_0\text{und}x\right\}$. Dann gilt

$$\begin{array}{lll}\hfill \left|f\left(x\right)-P_{x_0,n}^f\left(x\right)\right|=\left|R_{x_0,n}^f\left(x\right)\right|\le \frac{M_{n+1}|x-x_0{|}^{n+1}}{(n+1)!}.& & \hfill \end{array}$$

Insbesondere ist $f\left(x\right)=P_{x_0,n}^f\left(x\right)+O\left({(x-x_0)}^{n+1}\right)$ für $x\to x_0$.

Bemerkung.

Wir hätten andere Versionen des obigen Satz zu Taylor-Approximationen bereits in Abschnitt 8.2 für reellwertige Funktionen beweisen können. Dies sogar unter der etwas schwächeren Annahme an die $(n+1)$-te Ableitung, dass diese bloss zwischen $x_0$ und $x$ existieren soll und nicht unbedingt stetig sein muss. Unter dieser Voraussetzung gibt es ein ${\xi }_C$ zwischen $x_0$ und $x$, so dass das sogenannte Restglied nach Cauchy durch

$$\begin{array}{lll}\hfill R_{x_0,n}^f\left(x\right)=\frac{1}{n!}{f}^{(n+1)}\left({\xi }_C\right){(x-{\xi }_C)}^n\left(x-x_0\right)& & \hfill \end{array}$$

gegeben ist. Es gibt unter denselben Voraussetzungen auch ein ${\xi }_L$ zwischen $x_0$ und $x$, so dass das Restglied nach Lagrange durch

$$\begin{array}{lll}\hfill R_{x_0,n}^f\left(x\right)=\frac{1}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}\left({\xi }_L\right){(x-x_0)}^{n+1}& & \hfill \end{array}$$

gegeben ist. Wir verweisen dafür auf folgende Übung.

Übung 9.48 (Andere Formeln für das Restglied).

Gegeben sei ein nicht-leeres Intervall $(a,b)\subseteq ℝ$, Zahlen $x,x_0\in (a,b)$ und eine $(n+1)$-mal differenzierbare Funktion $f:(a,b)\to ℝ$.

(a)

Zeigen Sie, dass die Ableitung der Funktion $$\begin{array}{lll}\hfill F:t\in \left(a,b\right)\mapsto \sum _{k=0}^n\frac{f^{\left(k\right)}\left(t\right)}{k!}{(x-t)}^k,& & \hfill \end{array}$$

durch $t\in \left(a,b\right)\mapsto \frac{f^{(n+1)}\left(t\right)}{n!}{(x-t)}^n$ gegeben ist.

(b)

Wenden Sie den Mittelwertsatz (Theorem 8.29) auf die obige Funktion $F$ an, um die Formel $R_{x_0,n}^f\left(x\right)=\frac{1}{n!}{f}^{(n+1)}\left({\xi }_C\right){\left(x-{\xi }_C\right)}^n\left(x-x_0\right)$ für das Restglied nach Cauchy zu beweisen.

(c)

Verwenden Sie den verallgemeinerten Mittelwertsatz (Satz 8.48) für obiges $F$ und die Funktion $g:t\mapsto {(x-t)}^{n+1}$, um die Formel $R_{x_0,n}^f\left(x\right)=\frac{1}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}\left({\xi }_L\right){(x-x_0)}^{n+1}$ für das Restglied nach Lagrange zu beweisen.

Beispiel 9.49 (Extremwerte).

Wir wollen die Taylor-Approximation verwenden um die Diskussion in Abschnitt 8.1.3 und Korollar 8.37 zu verfeinern. Sei $(a,b)\subseteq ℝ$ ein offenes, nicht-leeres Intervall und sei $f:(a,b)\to ℂ$ eine $n$-mal stetig differenzierbare Funktion. Angenommen $x_0\in (a,b)$ erfüllt

$$\begin{array}{lll}\hfill f^{\prime }\left(x_0\right)=\dots =f^{(n-1)}\left(x_0\right)=0.& & \hfill \end{array}$$

Dann gelten folgende Implikationen.

Alle drei Aussagen folgen aus der Taylor-Approximation in Theorem 9.46, die in diesem Fall für $x\in (a,b)$ die Form

$$\begin{array}{lll}\hfill f\left(x\right)=f\left(x_0\right)+{\int }_{x_0}^x{f}^{\left(n\right)}\left(t\right)\frac{{(x-t)}^{n-1}}{(n-1)!}dt& & \hfill \end{array}$$

annimmt. Falls $f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)>0$ ist, existiert ein $\delta >0$ mit $f^{\left(n\right)}\left(t\right)>0$ für alle $t\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )$. Wir betrachten nun mehrere Fälle. Ist $x\in (x_0,x_0+\delta )$, so ist obiges Integral positiv und damit $f\left(x\right)>f\left(x_0\right)$. Ist $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ und $n-1$ gerade, so ist obiges Integral (auf Grund der umgekehrten Reihenfolge der Integrationsgrenzen) negativ, womit $f\left(x\right)<f\left(x_0\right)$ gilt und $f$ in $x_0$ kein lokales Extremum annimmt. Ist hingegen $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ und $n-1$ ungerade, so ergibt sich auf dieselbe Weise $f\left(x\right)>f\left(x_0\right)$, womit $f$ ein lokales Minimum in $x_0$ annimmt. Für $f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)<0$ können wir obige Diskussion auf $-f$ anwenden.

Applet 9.50 (Taylor-Approximationen).

Wir stellen einige Taylor-Approximationen bei verschiebbaren Fusspunkten zu bekannten Funktionen dar.

Übung 9.51.

Sei $[a,b]\subseteq ℝ$ ein kompaktes Intervall mit Endpunkten $a<b$.

(a)

Sei $f:[a,b]\to ℝ$ ein Polynom oder eine der Funktionen $\exp ,\sin ,\cos$. Zeigen Sie, dass Konstanten $c,A\ge 1$ mit $$\begin{array}{lll}\hfill \underset{t\in [a,b]}{\max }\left|f^{(n+1)}\left(t\right)\right|\le c{A}^n& & \hfill \text{(9.9)}\end{array}$$

existieren.

(b)

Zeigen Sie, dass falls $f,g:[a,b]\to ℝ$ Funktionen mit der Eigenschaft (9.9) auch $f+g$ und $f\cdot g$ diese Eigenschaften besitzen.

Übung 9.52.

Sei $\alpha \in ℂ$. Zeigen Sie, dass

$$\begin{array}{lll}\hfill {(1+x)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{\alpha }{n}\right)x^n& & \hfill \end{array}$$

für alle $x\in (-1,1)$, wobei für $n\in {\mathbb{N}}_0$

$$\begin{array}{lll}\hfill \left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{\alpha }{n}\right)=\frac{1}{n!}\prod _{k=0}^{n-1}\left(\alpha -k\right)=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}.& & \hfill \end{array}$$

Bemerkung.

Analytische Funktionen haben im Zusammenhang mit „holomorphen Funktionen“ auf offenen Teilmengen von $ℂ$ nach $ℂ$ eine schöne, geschlossene Behandlung, die in der Vorlesung „Funktionentheorie“ im zweiten Studienjahr thematisiert wird. Der komplexe Blickwinkel erklärt zum Beispiel, warum die analytische Funktion$x\in ℝ\to \frac{1}{1+x^2}$ bei$x_0=0$ eine Taylorreihe mit Konvergenzradius$1$ besitzt, obwohl die Funktion auf ganz$ℝ$ definiert ist.

Beispiel 9.53.

Sei $[a,b]\subseteq ℝ$ ein kompaktes Intervall mit Endpunkten $a<b$ und $f:[a,b]\to ℝ$ eine stetig differenzierbare Funktion mit $f^{\prime }\left(x\right)>0$ für alle $x\in [a,b]$. (Wir erinnern daran, dass dies im Allgemeinen nicht dasselbe wie strenge Monotonie von $f$ ist, aber strenge Monotonie impliziert.) Angenommen es gilt $f\left(a\right)<0$ und $f\left(b\right)>0$. Dann gibt es auf Grund des Zwischenwertsatzes (Satz 3.58) ein $z\in [a,b]$ mit $f\left(z\right)=0$, das wegen der strengen Monotonie von $f$ eindeutig bestimmt ist. Beginnend mit einem gewählten Punkt $x_0\in [a,b]$ definieren wir rekursiv

$$\begin{array}{lll}\hfill x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime }\left(x_n\right)}& & \hfill \text{(9.10)}\end{array}$$

für alle $n\in {\mathbb{N}}_0$ (falls $x_n\in [a,b]$). Die Idee hinter diesem Verfahren möchten wir in folgendem Bild erklären.

Falls die Folge ${\left(x_n\right)}_n$ definiert ist (das heisst, $x_n\in [a,b]$ für alle $n\in \mathbb{N}$) und konvergiert, dann ist ihr Grenzwert eine Nullstelle von $f$ und somit unter unseren Annahmen gleich der Nullstelle $z$. In der Tat gilt für $z^{\prime }=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$

$$\begin{array}{lll}\hfill z^{\prime }=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime }\left(x_n\right)}\right)=z^{\prime }-\frac{f\left(z^{\prime }\right)}{f^{\prime }\left(z^{\prime }\right)}& & \hfill \end{array}$$

und somit $f\left(z^{\prime }\right)=0$ und $z^{\prime }=z$.

Das Konvergenzverhalten der Folge ${\left(x_n\right)}_n$ ist im Allgemeinen „sehr chaotisch“. Unter etwas stärkeren Annahmen möchten wir nun aber zeigen, dass die Folge ${\left(x_n\right)}_n$ konvergiert und die Konvergenzgeschwindigkeit untersuchen.

Wir nehmen zusätzlich an, dass $f$ zweimal stetig differenzierbar ist und definieren

$$\begin{array}{llll}\hfill M& =\max \left\{\left|f^{″}\right(t\left)\right|\mid t\in [a,b]\right\}& \hfill & \\ \hfill m& =\min \left\{\left|f^{\prime }\right(t\left)\right|\mid t\in [a,b]\right\}.& \hfill & \end{array}$$

Nun wenden wir Korollar 9.47 an, um den Fehlerterm $R_{x_0,1}^f$ bei der Approximation von $f$ durch die Tangente um $x_0$ abzuschätzen. Bei der Nullstelle $z$ ergibt dies

$$\begin{array}{lll}\hfill \left|R_{x_0,1}^f\left(z\right)\right|\le \frac{M|z-x_0{|}^2}{2}& & \hfill \text{(9.11)}\end{array}$$

Des Weiteren gilt per Definition

$$\begin{array}{lll}\hfill 0=f\left(z\right)=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\left(z-x_0\right)+R_{x_0,1}^f\left(z\right).& & \hfill \text{(9.12)}\end{array}$$

Wir dividieren Gleichung (9.12) durch $f^{\prime }\left(x_0\right)$ und erhalten

$$\begin{array}{lll}\hfill 0=z-\underset{=x_1}{\underbrace{\left(x_0-\frac{f\left(x_0\right)}{f^{\prime }\left(x_0\right)}\right)}}+\frac{R_{x_0,1}^f\left(z\right)}{f^{\prime }\left(x_0\right)}.& & \hfill \end{array}$$

Mit der Abschätzung (9.11) ergibt dies

$$\begin{array}{lll}\hfill \left|x_1-z\right|=\left|\frac{R_{x_0,1}^f\left(z\right)}{f^{\prime }\left(x_0\right)}\right|\le \frac{M}{2m}{\left|x_0-\right|}^2& & \hfill \text{(9.13)}\end{array}$$

Falls nun $𝜀\in (0,\frac{m}{M})$ klein genug ist, so dass $B_{𝜀}\left(z\right)\subseteq [a,b]$ gilt, und falls $x_0\in B_{𝜀}\left(z\right)$ ist, dann folgt aus (9.13), dass

$$\begin{array}{lll}\hfill |x_1-z|\le \frac{M}{2m}|x_0-z{|}^2\le \frac{M}{2m}|x_0-z|𝜀\le \frac{1}{2}|x_0-z|<\frac{𝜀}{2}.& & \hfill \end{array}$$

Daher liegt $x_1$ auch in $[a,b]$ und ist bereits näher an $z$ als $x_0$. Komplett analog beweist man, dass für alle $n\in {\mathbb{N}}_0$

$$\begin{array}{lll}\hfill |x_{n+1}-z|\le \frac{1}{2}|x_n-z|& & \hfill \end{array}$$

gilt, was mit vollständiger Induktion auch

$$\begin{array}{lll}\hfill |x_n-z|\le 2^{-n}|x_0-z|& & \hfill \end{array}$$

für alle $n\in {\mathbb{N}}_0$ zeigt. Insbesondere konvergiert die Folge ${\left(x_n\right)}_n$ und wir können das Newton-Verfahren (unter geeigneter Wahl eines Startpunktes $x_0$) verwenden, um die Nullstelle mit hoher Genauigkeit zu approximieren. Die Konvergenz ist noch schneller als diese Abschätzung beweist; man spricht von quadratischer Konvergenz.

Übung 9.54 (Quadratische Konvergenz).

Wir möchten die Konvergenzgeschwindigkeit des Newton-Verfahrens hier genauer analysieren. In obigem Beispiel wurde gezeigt, dass sich der Fehler in jedem Schritt mindestens halbiert. Wir betrachten nun das Argument etwas genauer (und behalten dementsprechend die Notation). Sei $\beta =\frac{M}{2m}$. Zeigen Sie für den mit $\beta$ gewichteten Abstand$\beta |x_n-z|$ die Abschätzung

$$\begin{array}{lll}\hfill \beta |x_n-z|\le {\left(\beta \right|x_0-z\left|\right)}^{2^n}& & \hfill \end{array}$$

für jedes $n\in \mathbb{N}$ gilt.

Übung 9.55.

Verwenden Sie das Newton-Verfahren, um $\sqrt{2}$ (oder alternativ eine andere irrationale, reelle algebraische Zahl) auf drei Dezimalstellen genau zu berechnen. Für die genaue, numerische Berechnung des Resultats dürfen Sie einen Rechner oder ein Computer-Programm benutzen.