Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (2024)

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Du fragst dich, was Taylorreihen sind? Im folgenden Beitrag erklären wir dir Schritt für Schritt, was es mit den Taylorreihen auf sich hat und zeigen dir einige Beispiele dazu.

Inhaltsübersicht

Taylorentwicklung – Taylorreihe Herleitung und Taylor Formel

Eine Taylorreihe ist eine spezielle Potenzreihe. Du kannst jede beliebige Funktion in Form einer Taylorreihe, also als Taylorpolynom, darstellen. Das kann oft sehr praktisch sein, da das Rechnen mit Polynomen viel einfacher ist als mit komplizierten Funktionen.

Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (1)

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Taylorreihe entwickeln – Taylorpolynom entwickeln

Kommen wir nun aber dazu, wie du eine Taylorreihe entwickeln kannst. Die Funktion Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (2), die du darstellen möchtest, muss beliebig oft im Entwicklungspunkt Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (3) differenzierbar sein.

Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (4)

Gehen wir jetzt wieder von einer Potenzreihe aus, die du bereits kennst. Die Koeffizienten Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (5) sind die n-te Ableitung ausgewertet am Entwicklungspunkt Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (6). Die Koeffizienten multipliziert mit Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (7)werden summiert und ergeben die Taylorreihe.

Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (8)

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Wenn du nun endlich viele Summanden berücksichtigen willst, kannst du das Taylorpolynom aufstellen.

Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (9)

Beachte, dass Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (10) ein Polynom m-1-ter Ordnung ist. Also ist die größte vorkommende Potenz Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (11). Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (12)ist zum Beispiel die Tangente an den Graphen von Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (13) im Entwicklungspunkt Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (14). Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (15) ist eine Parabel mit einem quadratischen Term als höchster Potenz.

Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (16) ist eine gute Approximation für eine beliebige Funktion Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (17), sofern Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (18). Als Faustregel kannst du dir merken, dass die Taylor Approximation umso besser ist, je näher Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (19)bei Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (20)liegt und je größer die Ordnung Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (21)ist.

Jetzt sollte dir klar sein, was Taylorreihen sind und dass sie sich eignen, um beliebige Funktionen zu approximieren.

Taylorreihen Beispiele

Da du nun weißt, wie du theoretisch eine Taylorreihe entwickeln kannst, wollen wir uns das Ganze nun noch an mehreren Beispielen anschauen.

Taylor Entwicklung: Taylorreihe Beispiel

Im Folgenden betrachten wir zunächst das Beispiel der Funktion Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (22). Wir können Taylorreihen berechnen, um zu verstehen, wo der Grenzwert der geometrischen Reihe herkommt. Die geometrische Reihe ist die Reihe von Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (23)und ihr Grenzwert ist Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (24).

Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (25)

Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (26)

Also bestimmen wir die Taylorreihe der Funktion Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (27). Wir erinnern uns an die Definition der Taylor-Reihe:

Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (28)

Nun wählen wir den Entwicklungspunkt Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (29)und bilden die ersten drei Ableitungen in die wir für Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (30) Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (31)einsetzen. Wenn du dir die ersten drei Ableitungen einmal genauer anschaust, erkennst du ein Muster und kannst damit alle n-ten Ableitungen aufstellen.

Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (32)

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Mit diesen Ableitungen kannst du ohne Probleme die Koeffizienten Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (33)bestimmen, indem du sie durch Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (34)teilst:

Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (35)

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Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (37)kürzt sich raus. Die Koeffizienten ergeben sich zu 1 und die Taylorreihe ist:

Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (38)

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Nach Einsetzen von 1 für die Koeffizienten und 0 für den Entwicklungspunkt Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (39)resultiert die Summe von Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (40). Das ist genau die geometrische Reihe.

Hiermit hast du bewiesen, dass der Grenzwert der geometrischen Reihe Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (41)ist.

Rechenregeln Taylor Reihe

Kommen wir jetzt zu ein paar Rechenregeln, die für Taylorreihen gelten:

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1. Die Taylorreihe der Summe von f und g ist die Summe der Taylorreihen von f und g.

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2.Die Taylorreihe des Produkts von f und g ist das Produkt der Taylorreihen von f und g.

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3.Die Taylorreihe der Ableitung von f, also von f‘, ist die Ableitung der Taylorreihe von f.

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4.Die Taylorreihe des Integrals von f ist das Integral der Taylorreihe an f.

Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (46)

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Diese Regeln können an vielen Stellen hilfreich sein. Betrachten wir wieder unser Beispiel von oben. Integriert man nun die geometrische Reihe kommt man auf dieses Ergebnis:

Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (47)

Darauf können wir nun die oben aufgeführte Rechenregel zu Integralen von Taylorreihen anwenden:

Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (48)

Die Integralgrenzen entsprechen denen der ursprünglichen Aufgabenstellung. Null ist die Untergrenze und ein beliebiges t die Obergrenze. Wir wenden dann die Integralregel an. Jetzt setzen wir die Taylorreihe vonTaylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (49)ein, die wir am Anfang des Beitrags berechnet haben.Die Integration von Polynomen kennst du ja. Das Integral von 1 ist Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (50), das von Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (51) ist Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (52)und so weiter.

Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (53)

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Jetzt setzt du noch die Grenzen ein und erhältst genau das Taylorpolynom, das wir erwartet haben:

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Wichtige Taylorreihen

Als Nächstes zeigen wir dir ein paar wichtige Taylorreihen und wie du diese nutzen kannst:

Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (55)

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Das Beispiel zur Taylorreihe des Sinus kannst du dir ebenfalls in einem Video ansehen. Der Cosinus ist analog und besteht nur aus geraden Funktionen. Die Taylorreihe der e-Funktion ist die Summe über Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (56). Auch Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (57) haben wir uns am Anfang des Beitrags ausführlich angeschaut. Beachte, dass hier der Definitionsbereich auf -1, 1 eingeschränkt ist.

Verwendung Taylorreihen zur Entwicklung Taylorpolynome: Taylorreihe Tangens

Diese Taylorreihen sind einfach und wir können sie nutzen, um Taylorpolynome komplizierterer Funktionen aufzustellen. Genau das zeigen wir dir jetzt. Wir wollen das Taylor-Polynom Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (58)bestimmen. Dafür verwenden wir nur bereits bekannte Taylorreihen. Du weißt, dass sich der Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus darstellen lässt.Ersetze nun den Sinus und den Kosinus durch ihre Taylorreihen und substituiere Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (59).Von Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (60)kennst du das Taylor-Polynom bereits und kannst den Ausdruck ersetzen.

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Jetzt kannst du bis zur Ordnung fünf ausmultiplizieren. Du brauchst nur die Potenzen bis zur Ordnung fünf, da du Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (62)berechnest. Dass wir nur ungerade Exponenten haben, ist ein gutes Zeichen, da der Tangens eine ungerade Funktion ist. Ab der siebten Ordnung fassen wir die Terme im Landau-Symbol zusammen. Jetzt noch zusammenfassen und du erhältst das Ergebnis:

Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (63)

Das Taylorpolynom sechster Ordnung sieht also wie folgt aus:

Taylorreihen | einfach erklärt für dein Maschinenbau-Studium (64)

Und so kannst du Taylorpolynome berechnen, ohne komplizierte Ableitungen des Tangens berechnen zu müssen.

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Author: Laurine Ryan

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